5. Relativitás elmélet és a klasszikus fizika viszonya - esettanulmány

 

Klasszikus fizika Einstein előtt

• klasszikus mechanika
• Maxwell elektrodinamika - Maxwell-egyenletek
• tömegformula: $m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ (speciális esetekre már ismert volt korábban, ebben az alakban Planck adta meg 1906-ban)

Michelson-Morley-kísérlet (1881)

Tegyük fel, hogy az ábrán látható berendezés az éterhez (Éter= egy olyan feltételezett közeg, amelyben az elektromágneses hullámok terjednek, $c=3\times10^{8}\frac{m}{s}$ sebességgel, és amelyhez rögzített vonatkoztatási rendszerben Maxwell igaznak tételezte a Maxwell-egyenleteket.) képest $v$ sebességgel halad a - a Földdel együtt. A forrásból kilépő fénysugarat egy féligáteresztő tükörrel két részre bontjuk. A két kart oda és vissza befutva a sugarak találkoznak, és a két futási idő különbségétől,

$$\begin{eqnarray*} \Delta & = & \frac{2l_{1}}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}-\left(\frac{l_{2}}{c-v}+\frac{l_{2}}{c+v}\right)\end{eqnarray*}$$

függő interferencia kép alakul ki. A berendezés elforgatása után:

$$\begin{eqnarray*} \Delta' & = & \left(\frac{l_{1}}{c-v}+\frac{l_{1}}{c+v}\right)-\frac{2l_{2}}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}\end{eqnarray*}$$

$\Delta'-\Delta$-t meg lehet határozni az interferencia kép megváltozásából, ebből pedig ki lehet számolni $v$-t. A meglepődés akkor volt, amikor az interferencia kép NEM változott meg az elforgatás után, vagyis úgy tűnt, hogy $v=0$, ami eléggé hihetetlen volt.

A MM kísérlet null eredménye következtében előállt krízis megoldódásával kapcsolatban a következő, széles körben elterjedt álláspontokat különböztetjük meg:

(A)

A MM kísérlet null eredményét végül az Einstein-féle speciális relativitáselmélet oldotta meg.

(B)

Két megoldás is született. A Fitzgerald, Lorentz, Poincaré és Larmor nevéhez fűzhető KLASSZIKUS fizikai megoldás, és a Einsteini RELATIVISZTIKUS megoldás. Ezek egyformán jók.

Ezzel szemben az igazság az, hogy

(C)

csak egy megoldás született, a KLASSZIKUS.

A klasszikus megoldás

Mi történik egy ponttöltéssel, ha mozgásba hozzuk? Erre a Maxwell-egyenletek pontos választ adnak:

Ebből az effektusból levezethető, hogy

1. a szilárd testeknek a mozgás irányába eső kiterjedése $\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$ arányba megrövidülnek
2. a minden óraszerű szerkezet lelassul, a fizikai folyamatok karakterisztikus periódusa $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ arányban megnyúlik.

Így ,,látná'' (hogy mit látna, az egy kicsit bonyolultabb kérdés, de ilyen deformáltnak állapítaná meg) a MM berendezést egy olyan megfigyelő, akihez képest $v$ sebességgel mozog (mondjuk, aki áll az éterhez képest). Ez szemmel láthatóan megmagyarázza a null eredményt. Más szóval, nincs semmi meglepő a MM kísérlet eredményében, pontosan azt tapasztaljuk, amit tapasztalnunk kell a klasszikus fizikából kiszámolva! Mi, a MM berendezéssel együtt mozgó megfigyelők nem tapasztaljuk ezt a deformációt, mert a méterrúdjaink ugyanúgy deformáltak, a retinánk ugyanúgy deformált, stb. (Deformáció alatt azt értjük, milyen ahhoz képest, ha az éterben állna.)

Lorentz (Poincaré és Larmor. Hogy pontosan ki, mikor és mit, az részletesebb történeti áttekintést igényelne. Mivel ez minket most nem érdekel, az egyszerűség kedvéért mindent Lorentz-nek tulajdonítok.) azt is észrevette, hogy az éterhez viszonyított mozgás hatása a fizikai rendszerek viselkedésére egy sajátos törvényszerűséget mutat: nevezetesen a mozgó fizikai rendszerre vonatkozó számolás eredménye érdekes alakot ölt, ha az eredményt a következő új változókban fejezzük ki:

$$\begin{array}{llll} x'=x & y'=y & z'=\frac{z-vt}{\sqrt{1-\fr... ...ac{t-\frac{vz}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\end{array}$$ (1)

Az eredmény ugyanis ezekben a változókban kifejezve nem más, mint az ugyanilyen álló rendszerre vonatkozó eredmény a

$$t\mapsto t'\textrm{ és }x,y,z\mapsto x',y',z'$$ (2)

helyettesítéssel. Számos esetre ellenőrizve, ez mindig így van. Ennek alapján megfogalmazhatjuk a Lorentz-elvet:

A mozgó fizikai rendszer viselkedését megkapjuk, ha az ugyanilyen álló rendszer viselkedésére vonatkozó feladatot oldjuk meg, és az eredményekben elvégezzük a helyettesítést.

Fontos a későbbiek szempontjából az a könnyen belátható tény, hogy ezek az új változók nem mások, mint azok az ,,idő'' és ,,tér'' (Az idézőjel - legalábbis Lorentz számára - nagyon fontos!) koordináták, melyeket a mozgó objektumhoz rögzített vonatkoztatási rendszerbeli - vagyis mozgó, és így deformált - órákkal és méterrudakkal mérnénk. Így a Lorentz-elvet a következőképpen is kimondhatjuk:

A fizika törvényei olyanok, hogy bármely fizikai rendszer az éterhez viszonyított mozgás hatására úgy deformálódik (értsd ez a mozgás úgy módosítja a rendszer viselkedésére vonatkozó, a fizika szokásos törvényeiből levezetett eredményeket), hogy ebből az eredményből nem állapítható meg egyetlen vonatkoztatási rendszernek sem az éterhez viszonyított sebessége.

Tanulságos végiggondolnunk, hogy hogyan néz ki a világ, a Lorentz-elméletet alapul véve, egy, az éterhez képest mozgó megfigyelő számára. Álljon itt egy hosszabb passzus Bellnek a How to teach relativity c. cikkéből, melyben igen plasztikusan írja le, mit tapasztalunk, ha a világot egy mozgó rendszerből figyeljük meg.

A mozgó megfigyelőre vonatkozó kérdés nem teljesen akadémikus. Nem rakétákban száguldó emberekre kell gondolni, hanem arra, hogy magát a Nap körül keringő Földet jó okunk van - legalábbis az év nagy részében - mozgó vonatkoztatási rendszernek tekintenünk. A lényeg, amit a Lorentz-invariancia alapján a mozgó megfigyelőről meg kell állapítanunk, hogy azok a vesszős változók, melyeket a fentiekben csupán matematikai segédletként vezettünk be, nem mások, mint amiket egy állandó sebességgel mozgó, ugyanakkor magát nyugvónak képzelő megfigyelő természetes módon a helyes változóknak gondol. Továbbá, a fizika törvényei ezekben a változókban kifejezve pontosan úgy festenek, mint ahogyan azt a mozgó megfigyelő, még amikor nyugalomban volt, az iskolában megtanulta (feltéve, hogy helyesen tanították meg neki). Egy ilyen megfigyelő, hívjuk őt mondjuk Alice-nek, természetes módon egy hozzá képest nyugvó pontot fog koordinátarendszere origójául választani. Ezzel pontosan rögzítettük a $vt$ tagot a

$$z'=\frac{z-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$

összefüggésben. Alice méterrúdjai pedig pontosan a $\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$ faktornak megfelelő mértékű Fitzgerald-kontrakciót szenvedik el. De hogy lehet, hogy nem látja, hogy a méterrúdjai összehúzódnak amikor $z$ irányba fekteti őket, és meghosszabbodnak, amint $x$ irányba elforgatja? Ennek az a magyarázata, hogy Alice szemének retinája szintén kontrahálódik, és így ugyanazok a sejtek érzékelik a méterrúd képét, mintha a rúd is és a megfigyelő is nyugalomban lenne. Hasonlóképpen, Alice nem érzékeli, hogy órája lelassult, mert ezzel együtt lelassult saját gondolkodásának ritmusa is. Továbbá arról sem fog tudni - hiszen magát nyugalomban lévőnek képzeli -, hogy a tőle távolodó és feléje közelítő fényjelek különböző, $c\pm v$, relatív sebességgel haladnak. Ez aztán ahhoz vezet, hogy Alice helytelenül szinkronizálja az egymástól távoli órákat, és végül azt fogja hinni, hogy a

$$t'=\frac{t-\frac{vz}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$

a valódi idő, már csak azért is mert ezzel a választással úgy tűnik számára, hogy a fény terjedési sebessége minden irányban $c$.

$\vdots$

Mindezek után Alice ellenőrizheti a fizika törvényeit, és örömmel tapasztalhatja, hogy azok pontosan olyanok, mint ahogyan emlékszik rájuk, s hogy az alkalmazott definíciók és eljárások jól működnek. Ha valami mégsem stimmel, akkor hamar rájön, hogy valamelyik berendezése meghibásodott (például megrongálódott a gyorsítás során), és megjavítja. Tekintsünk most egy álló megfigyelőt, Bobot. Mivel Alice magát nyugalomban lévőnek hiszi, úgy gondolja, hogy Bob az, aki mozog. És könnyen kifejezhetjük az Alice által használt változókat a Bob által használtakkal, és viszont, csak $v$ előjelét kell megváltoztatni:

$$\begin{array}{llll} x'=x & y'=y & z'=\frac{z-vt}{\sqrt{1-\fr... ...{t'+\frac{vz'}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\end{array}$$

Alice azt állítja majd, hogy Bob méterrúdjai kontrahálódtak, órája lassabban jár, és hogy Bob helytelenül szinkronizálta az egymástól távoli órákat. Alice, megértően úgy gondolja majd, hogy Bob azért használ rossz változókat, mert műszerei Fitzgerald-Larmor-Lorentz-Poincaré-kontrakciót szenvedtek. Ahogyan Alice látja a világot, az logikailag teljesen konzisztens, és tökéletes összhangban van a megfigyelt tényekkel. Bobnak semmi esélye sincs, hogy meggyőzze tévedéséről.

Bell elemzéséből kitűnik, hogy téves az a gyakori ellenvetés, hogy a Lorentz-elmélet nem képes számot adni egy álló rúdnak a mozgó megfigyelő rendszerében tapasztalt kontrakciójáról, hiszen - szól az ellenérv - az álló rúd kontrakcióját nem okozhatták a Lorentz által feltételezett, az éterhez viszonyított mozgásból származó fizikai deformációk. A fenti elemzés világosan megmutatta, hogy az álló rúdnak a mozgó megfigyelő által észlelt kontrakciója nagyon is jól értelmezhető, méghozzá éppen a mozgó megfigyelő mozgó méterrúdjaiban és mozgó óráiban bekövetkezett fizikai deformációk következményeként.

Tér- és időkoordináták az egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerekben

Mindezek tükrében, hogyan definiálná a klasszikus fizika embere a tér- és időkoordinátákat egy a Párizsi Szabványügyi Hivatal vitrinjéhez (ahol a méterrudat őrzik, és a játék kedvéért most tegyük fel, hogy egy etalon órát is őriznek) képest $V$ sebességgel mozgó vonathoz rögzített vonatkoztatási rendszerben?

Analógia: Hogyan járnánk el, ha az etalon méterrúddal, amelynek a hiteles hossza $20\,\textrm{C}{}^{\diamond}$-os hőmérsékleten van értve, olyan helyen kell mérnünk, ahol a hőmérséklet $-40\,\textrm{C}{}^{\diamond}$, és tudjuk, hogy a hőtágulási törvényből kiszámolhatóan, ezen a hőmérsékleten a hossza csak $0.98\,\textrm{m}$? Nyilván úgy, hogy ha valamire a méterrúd hatszor fér rá, akkor azt mondjuk, hogy a hossza $6\times0.98\,\textrm{m}$.

Hasonlóan, a klasszikus fizika tér- és időszemlélete szerint

$$\begin{array}{rcccl} x & : & \begin{array}{c} \textrm{a defo... ...w & t=\frac{\tilde{t}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\end{array}$$ (3)

A távoli események egyidejűségének definíciójánál figyelembe vesszük, hogy a kezdetben szinkronizált órák elmozdítása során elállítódnak (ami ekvivalens annak figyelembevételével, hogy a fényjelek nem ugyanolyan sebességgel haladnak egyik illetve a másik irányba, ha fényjelekkel szinkronizálunk.). Az így definiált tér- és időkoordinátákkal tökéletesen megvagyunk, minden leírható, és a világ $(x,t)$térképe egy euklideszi geometriával írható le. Az egyidejűség fogalma nem függ a vonatkoztatási rendszertől, stb.

Relativitáselmélet

A relativitáselmélet lényege, hogy ezen a ponton a következő javaslatot teszi: Hagyjuk a csudába ezeket a korrekciókat, ne törődjünk azzal, hogy a méterrudak deformálódtak, és az órák lelassultak, hanem definiáljuk az etalonokhoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerben a tér- és időkoordinátát úgy, mintha semmi sem deformálódott volna:

$$\begin{array}{rcccl} x' & : & \begin{array}{c} \textrm{a def... ...lassult óra}\end{array} & \Rightarrow & t'=\tilde{t}\end{array}$$ (4)

Továbbá a távoli események egyidejűségének definíciójakor sem veszünk tudomást arról, hogy az órák transzportja során azok elállítódnak (másik módszer esetén, hogy a fényjelek oda és vissza más sebességgel haladnak a vonathoz képest). Mármost világos, hogy $(x,t)$és $(x',t')$ egymásból könnyen kifejezhetők, és a fizika törvényeit kedvünk szerint egyaránt jól felírhatjuk $(x,t)$és $(x',t')$ változókban is. A világ $(x',t')$-térképe egy Minkowski-geometria.

A relativitáselmélet és az azt megelőző fizika viszonya

Két elmélet azonos, ha mindenről ugyanazt mondja. A klasszikus fizika az $(x,t)$ változók értékeiről, illetve ezek tetszőleges $f(x,t)$ függvényeiről (pl. $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$) is, és az $(x',t')$ változók értékeiről, illetve ezek tetszőleges $g(x,t)$ függvényeiről (pl. $v'=\frac{\Delta x'}{\Delta t'}$) is ugyanazt állítja, mint a relativitáselmélet. A két elmélet között kizárólag nyelvi különbség van: a klasszikus fizika $x$-et nevezi ,,tér''-koordinátának és $t$-t ,,idő''-koordinátának, a relativitáselmélet pedig $x'$-t és $t'$-t.

Ami az inkommenzurábilitási tézis szempontjából fontos: az egyik elméletben empirikusan értelmezett fogalmak ugyanazok, mint a másikban (pontosabban mindkettőben minden értelmezhető, ha akarjuk, az összevetés céljából), és ezért tökéletesen összevethetők, vagyis létezik az a Kuhn és Feyerabend és mások által tagadott invariáns empirikus ,,nyelv'', amely lehetővé teszi az összevetésüket! (Ráadásul, mint látjuk, nemhogy összevethetők, hanem egyenesen azonosak!)

Megjegyzések:

• Érdemes röviden kitérni a tömegformulára, hiszen Feyerabend azt állítja, hogy a tömegformulában szereplő tömeg és a newtoni fizikában szereplő tömeg nem összevethető. Ezzel szemben az igazság az, hogy a ,,relativisztikus tömeg'' szó szerint ugyanúgy van értelmezve, mint a klasszikus fizikában, a testre ható erő és a gyorsulás hányadosaként. Abraham és Lorentz pontosan a gyorsulás és a töltött testekre ható erő közötti összefüggés elméleti vizsgálatából vezették le a tömegformulát, és Kauffmann pontosan a gyorsulás és a töltött részecskére ható erő hányadosának mérése útján igazolta a tömegformulát empirikusan, stb. Vagyis egy és ugyanazon dologról, empirikusan ismertük fel - a nagyobb sebességgel való mozgásra vonatkozó kísérleti eredmények alapján - hogy a függ a sebességtől.

  Példa: Számoljuk ki, mekkora úton lehetne egy elektront felgyorsítani a fénysebesség 90%-ra, ha a nem lenne igaz a tömegformula, azaz - mint korábban hittük - a tömeg nem függ a sebességtől.

  $$\begin{eqnarray*} E & = & 10^{7}\frac{N}{C}\\ q & \approx & 10^{-19}C\\ m & \approx & 10^{-30}kg\end{eqnarray*}$$
  
  
  $$\begin{eqnarray*} & F=Eq=10^{-12}N\Rightarrow a=\frac{F}{m}=10^{18}\frac{m}{s^{... ...mes10^{-10}s\\ & \Rightarrow s=\frac{1}{2}\times0.9ct=1.35\, cm\end{eqnarray*}$$
  
  

  Ehhez képest a Stanfordi Lineáris Gyorsító $3.2\, km$ hosszú, és 300 millió dollárba került! (Ez pontosan az a hosszúság, amit az $m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ formulából számolunk.) Nehéz lenne azt mondani, hogy empirikus alapon nem dönthető el, melyik elmélet a helyes, az $m=\textrm{const}$, vagy az $m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$!

• A szinkronizált órák transzportjával kapcsolatban a fizikusok között is sok félreértés van forgalomban. Sokan azt hiszik, hogy a egy tetszőleges mozgó inerciarendszerben igaz, hogy az adiabatikusan (lassan) transzportált órák elállítódása zérus. Ez azonban csak az éterhez képest nyugvó órákkal van így (részleteket lásd Jánossy L., Relativitáselmélet a fizikai valóság alapján, Akadémiai Könyvkiadó, Budapest 1973, 140-141. o.) Ennek köszönhető, hogy két olyan esemény amelyik egyidejű $t$ szerint nem egyidejű $t'$ szerint, és viszont.
• A Lorentz-elvből egyébként következik, hogy az éterhez rögzített inerciarendszer szerepét tetszőleges inerciarendszer betöltheti. Az éter létezését a relativitáselmélet nem cáfolja meg, de nincs rá szükségünk, éppen úgy, mint ahogyan a klasszikus fizikai leíráshoz sem szükséges.
• Az éter létezésének kérdése azonban teljesen független az ,,abszolút nyugalom'' fogalmától, melyre természetesen seholsem hivatkoztunk.
• (A) felfogás megfelel a fizikusok 99%-a által osztott nézetnek. Még ambiciózusabban fogalmazva - e nézet szerint - a kísérletek eredménye nyomán rájöttünk, hogy a téridő geometriája nem olyan, mint a klasszikus fizikában hittük, hanem más (a részletek elmondása hosszabb lenne.). Az idő és a tér relatív fogalmak, függnek a vonatkoztatási rendszertől. Az egyidejűség szintén. Nagyjából ez a nézet tükröződik különböző filozófiai írásokban is. (B) felfogás széles körben terjedt el a relativitáselmélettel foglalkozó tudományfilozófusok között (pl. Michael Friedman). A relativitáselmélet és a klasszikus fizika viszonyát a Duhem-Quine-féle aluldeterminációs tézisre adható példák prototípusának tekintik.