Az indukció alapproblémája: Hogyan következtethetünk véges sok esetre vonatkozó evidenciából általános törvényszerűségekre?
Mint már Hume rámutatott, ez a ,,következtetés'' nem lehet logikai értelemben vett implikáció. A megoldás sokkal inkább az emberi természetben keresendő: hajlamosak vagyunk magunkat egy bizonyos mintázat sokszori ismétlődése alapján arra kondicionálni, hogy ugyanaz a mintázat folytatódik.
Hempel-paradoxonok. A
Nem kell nagyon nagy jelentőséget tulajdonítani ezeknek a paradoxonoknak. Az indukció alapproblémájához nem sokat tesznek hozzá. Ami ezekben a paradoxonokban megmutatkozik, az sokkal inkább a logika ,,alkalmazásának'' a problémája, és nem az indukcióé. Kérdéses
Goodman ,,fekér''-ügye semmit sem tesz hozzá az indukció alappoblémájához.
Egyébként semmi problémát nem jelent, hogy ha tényleg kedvünk van
a fekér tulajdonságot úgy értelmezni, hogy
Az induktív általánosítással kapcsolatos szkepszis forrása a dedukció-indukció dichotómia. Az az élmény, hogy vannak a dedukció útján nyert ,,ész-igazságok'', melyek ,,teljes bizonyosságot'' nyújtanak:
Kétféle igazság van: a gondolkodás igazsága és a tények igazsága. A gondolkodás útján nyert igazság szükségszerű, az ellenkezője lehetetlen; a tények igazsága esetleges és az ellenkezője lehetséges. (Leibniz: Monadológia)
Mert amíg a tudományos általánosítás esetében elismerten fennáll a tévedés lehetősége, addig a matematikai és logikai igazságok mindenki számára biztos és szükségszerű igazságoknak tűnnek. De ha az empirizmus helyes, akkor egyetlen olyan állítás sem lehet biztos és szükségszerű, amely a világ tényeire vonatkozik. Ennek megfelelően egy empirista a következő két módon viszonyulhat a logikai és matematikai igazságokhoz: vagy azt mondja, hogy azok nem szükségszerű igazságok ..., vagy azt, hogy nem a világ tényeire vonatkoznak .... Ha egyik kurzus sem válik be, kénytelenek vagyunk utat engedni a racionalizmusnak. Akkor el kell ismernünk, hogy vannak a világra vonatkozó olyan igazságok, melyeket a tapasztalattól függetlenül tudhatunk;.... (Alfred J. Ayer: Language, Truth and Logic, Dover Publications, New York 1952.)Mármost az első lépés, hogy megkülönböztessük az analitikus igazságokat a tisztán deduktív igazságoktól. Amit a filozófiai irodalomban analitikus igazságoknak szokás nevezni, azok valójában a világról szóló empirikus ismereteink közé tartoznak (Vö. Quine: Két dogma). A szavaknak jelentésük van, és a mondatoknak -- a 3. előadáson (Lakatos) bevezetett terminológiát használva -- van Igazság értelemben vett igazságuk. Tegyük fel, hogy igaz mondatoknak egy halmaza, továbbá, hogy egy rendszerben. Ebből nem következik, hogy egy igaz mondat. Ez ugyanis egy empirikus kérdés. Ha az, akkor ez egy új információ a világról, amely megerősítheti az egész (fizikai) elméletet, beleértve az -beli következtetési szabályok -ben való alkalmazhatóságát is.
(A Hempel-féle paradoxonokban a ,,logikailag ekvivalencia'' analitikus ekvivalenciát jelent, vagyis már abban sem lehetünk az indukció nyújtotta bizonyosságnál erősebben bizonyosak, hogy mely mondatok ,,logikailag'' ekvivalensek. )
Az abszolút bizonyosságot nyújtó, szükségszerű igazságok státuszát tehát csak a tisztán deduktív igazságok (Igazság) tölthetik be. Ezek az igazságok azonban 1) semmit sem mondanak a világról (leszámítva magukat a deduktív rendszereket), és 2) mint az alább idézett argumentumból kiderül, maguk is induktív módon szerzett ismereteink közé tartoznak, s mint ilyenek semmivel sem nyújtanak nagyobb bizonyosságot mint az induktív általánosítás más esetei:
Now, from the standpoint of the physicalist ontology of formal systems, one can arrive at the following conclusion: mathematical and logical truths are not necessary and not certain, but they do have factual content referring to the real world.
For ``deduction'' is a concept which is meaningful only in a given formal system. On the other hand, as we have seen, a formal system is nothing but a physical system, and derivation is a physical process. The knowledge of a mathematical truth is the knowledge of a property of the formal system in question--the knowledge of a fact about the physical world. The formal system is that part of physical reality to which mathematical and logical truths refer.
It must be emphasized that this reference to the physical world is of a nature completely different from that assumed by Mill in his realist philosophy of mathematics. In the terminology we introduced ... with respect to physical theories, the formal statements still do not have any reference to the real world in the sense of the truth-conditions of Truth, since mathematics does not provide us with a semantics directed from the formal system to the outside world. When we are talking about the empirical character of mathematical truths, we are still talking about Truth, namely we assert that even Truth is of empirical nature, the factual content of which is rooted in our experiences with respect to the formal system itself. Mathematics is, in this sense, empirical science.
The knowledge we obtain through a deductive inference is nothing but an empirical knowledge we obtain through the observation of the derivation process within the formal system in question. In other words, deduction is a particular case of induction. Consequently, the certainty of mathematics, that is the degree of certainty with which one can know the result of a deductive inference, is the same as the degree of certainty of our knowledge about the outcomes of any other physical processes.
For example, the reason why the truth of the height theorem is uncertain is not that our knowledge about the properties of ``real triangles'' is uncertain, as Mill takes it, but rather that our knowledge about the deductive (physical) process, the outcome of which is the height theorem, is uncertain, no matter how many times we repeat the observation of this process.
In order to explain the universal conviction that mathematical truths are necessary and certain, notice that there are many elements of our knowledge about the world which seem to be necessary and certain, although they are obtained from inductive generalization. If we need a shorter stick, we break a long one. We are ``sure'' about the outcome of such an operation: the result is a shorter stick. This regularity of the physical world is known to us from experiences. It can be known also to a chimp, from its own experiences obtained by trying to use a long stick. The certainty of this knowledge is, however, not less than the certainty of the inference from the Euclidean axioms to the height theorem.
Thus, mathematical truths are nothing but knowledge obtained through inductive generalization from experiences with respect to a particular physical system, the formal system itself. Reasoning is, if you like, a physical experiment. So, contrary to Leibniz's position thatNincs tehát az induktív módszer nyújtotta bizonyosságnál nagyobb bizonyosság, s ez ráirányítja a figyelmet arra, hogy -- visszakanyarodva Hume-hoz -- az indukcióban az ismeretszerzés legalapvetőbb mozzanatát ismerjük fel, s ennek megfelelően a kognitív pszichológia eszközeivel értelmezzük.There are ... two kinds of truths: those of reasoning and those of fact. The truths of reasoning are necessary and their opposite is impossible; the truths of fact are contingent and their opposites are possible. (Leibniz)we must draw the following epistemological conclusion: The certainty available in inductive generalization is the best of all possible certainties! (L. E. Szabó: Formal Systems as Physical Objects: A Physicalist Account of Mathematical Truth, International Studies in the Philosophy of Science, 17 (2003) pp. 117 - 125.)